Nombre polygonal
Nombre figuré qu'on peut représenter par un polygone régulier convexe ou par une suite partiellement superposée de polygones réguliers convexes.
Si le polygone régulier convexe a [latex]c[/latex] côtés et si, sur chaque côté, sont répartis [latex]n[/latex] points, les sommets étant inclus, on distingue alors deux sortes de nombres polygonaux :
- ceux qui sont représentés sur le périmètre du polygone : [latex]\textrm{p}_{n}^{c}[/latex] = [latex]c[/latex]([latex]n[/latex] – 1)
- ceux qui sont représentés sur la surface fermée du polygone : [latex]\textrm{P}_{n}^{c}[/latex] = [latex]\dfrac{(c\space –\space 2)n^2 –\space (c\space –\space 4)n}{2}[/latex]
Exemple
Pour les nombres triangulaires :- [latex]\textrm{p}_{n}^{3}[/latex] = 3([latex]n[/latex] – 1) et [latex]\textrm{p}_{5}^{3}[/latex] = 3(5 – 1) = 12
- [latex]\textrm{P}_{n}^{c}[/latex] = [latex]\dfrac{(c\space –\space 2)n^2 –\space (c\space –\space 4)n}{2}[/latex] et [latex]\textrm{P}_{n}^{3}[/latex] = [latex]\dfrac{n(n + 1)}{2}[/latex] et [latex]\textrm{P}_{5}^{3}[/latex] = [latex]\dfrac{5(5 + 1)}{2}[/latex] = 15