Fonction polynomiale du second degré
Fonction polynomiale dont la forme générale est [latex]f(x) = \textrm{A}{x}^2 + \textrm{B} x + \textrm{C}[/latex], où A ≠ 0 et A, B, C ∈ [latex]\mathbb{R}[/latex].
Une fonction polynomiale du second degré dont tous les coefficients des termes de degré inférieur à 2 sont nuls est appelé une fonction quadratique.
Propriétés
- Le graphique d'une fonction polynomiale du second degré a son sommet à l'origine du plan cartésien.
- Les zéros d’une fonction polynomiale du second degré sont donnés par :
- si (B2 – 4AC) ≥ 0, les zéros sont réels et : [latex]x_{1} = \frac{−\textrm{B}\space + \space \sqrt{{\textrm{B}}^{2} − 4\textrm{AC}}}{2\textrm{A}}[/latex] et [latex]x_{2} = \frac{−\textrm{B}\space −\space \sqrt{{ \textrm{B}}^{2} − 4\textrm{AC}}}{2\textrm{A}}[/latex];
- si la fonction est de la forme f(x) = [latex]\textrm{A}{x}^{2} + \textrm{B}x[/latex], les zéros sont : [latex]x_{1}[/latex] = 0 et [latex]x_{2}[/latex] = − [latex]\frac{\textrm{B}}{\textrm{A}}[/latex];
- si la fonction est de la forme f(x) = [latex]\textrm{A}{x}^{2} + \textrm{C}[/latex], les zéros sont : [latex]x_{1} = \sqrt{− \frac{\textrm{C}}{\textrm{A}}}[/latex] et [latex]x_{2} = − \sqrt{− \frac{\textrm{C}}{\textrm{A}}}[/latex], où [latex]\textrm{AC}[/latex] < 0;
- si la fonction est de la forme f(x) = [latex]\textrm{A}{x}^{2}[/latex], les zéros sont : [latex]x_{1}[/latex]= 0 et [latex]x_{2}[/latex]= 0.
Exemples
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation [latex]f(x) = {x}^{2}[/latex] a comme représentation graphique la parabole de base.
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation [latex]f(x) = {(x − \textrm{a})}^{2}[/latex] a comme représentation graphique la parabole de base translatée horizontalement.
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation [latex]f(x) = {x}^{2} + \textrm{k}[/latex] a comme représentation graphique la parabole de base translatée verticalement.
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation [latex]f(x) = a{(x − \textrm{h})}^{2} + \textrm{k}[/latex] a comme représentation graphique la parabole de base translatée horizontalement et verticalement.
Le graphique ci-dessus illustre la fonction f définie par f(x) = (x + 3)2 − 4.