Dans le plan cartésien, une matrice de transformation est une matrice qui permet, à partir des coordonnées d’un point initial représentées par une matrice colonne, de trouver celles de son image par une transformation géométrique donnée. Les coordonnées de l’image sont alors obtenues en effectuant la multiplication de la matrice colonne (les coordonnées d’un point) par la matrice correspondant à la transformation géométrique concernée.
En algèbre linéaire, une transformation géométrique dans le plan cartésien peut être représentée à l’aide de matrices ou de vecteurs. La matrice associée à une transformation permet alors d’obtenir les coordonnées de l’image de n’importe quel point d’une figure initiale en appliquant la matrice de transformation aux coordonnées de ce point.
Formule
Pour toutes les transformations géométriques planes, si on considère un point \(P(x, y)\) et un matrice de transformation \(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\), alors l’image \(P'(x’, y’)\) du point \(P\) s’obtient par : \(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
Exemples
- Pour un changement d’échelle horizontal de facteur \(k\), la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}k & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par ce changement d’échelle seront données par \(\begin{bmatrix}k & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une translation \(t\) dans le plan cartésien, définie par un vecteur \(\overrightarrow{t}(a, b)\), la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}x + a\\y+b\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette translation seront données par \(\begin{bmatrix}x + a\\y + b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une réflexion \(s_x\) par rapport à l’axe des abscisses dans un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette réflexion seront données par \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une rotation \(r\) de 90° centrée à l’origine d’un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette rotation seront données par \(\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une rotation \(r\) de \(\theta°\) centrée à l’origine d’un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}\cos{\theta} & −\sin{\theta}\\\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette rotation seront données par \(\begin{bmatrix}\cos{\theta} & −\sin{\theta}\\\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une homothétie \(h\) de rapport \(k\) centrée à l’origine d’un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette homothétie seront données par \(\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).