matrice

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Tableau ordonné de nombres.

Une matrice A de dimension m × n est un tableau comprenant m lignes et n colonnes dans lequel sont disposés m × n nombres.

Soit A un ensemble de nombres et (m, n) un couple de nombres entiers positifs.  On appelle matrice à coefficients dans A, de dimension m × n, c’est-à-dire à m lignes et n colonnes, une famille (\(a_{i,\space j}\)) d’éléments de A indexée par le produit cartésien des ensembles de nombres entiers [1, m] et [1, n].

\(\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & … & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & … & a_{2,n}\\a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & … & a_{3,n}\\ … & … & … & … & …\\a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & … & a_{m,n}\end{pmatrix}\)

  • Dans la matrice précédente, l’élément \(a_{1, 2}\) se lit « \(a\) indice un, deux ».
  • Le premier élément du couple en indice donne la rangée alors que le deuxième élément indique la colonne.
  • L’élément \(a_{3, 2}\)  se situe dans la troisième rangée et dans la deuxième colonne.

Exemples

  • Soit la matrice : A = \(\begin{pmatrix} 3 & 6 & 7\\4 & 8 & 5\end{pmatrix}\)
    Alors : \(a_{1,2}\) = 6 et \(a_{2,3}\) = 5.
  • Deux matrices sont égales si elles ont les mêmes dimensions et si leurs éléments correspondants sont égaux.
    Soit A = \(\begin{pmatrix} –3 & 6 & 7\\4 & –8 & 5\end{pmatrix}\) et B = \(\begin{pmatrix} x & 6 & 7\\4 & y & 5\end{pmatrix}\). Ainsi, on a : x = −3 et y = –8.
  • La transposée d’une matrice A de dimension m × est la matrice B de dimension n × m telle que \(b_{j,\space i}\) = \(a_{i,\space j}\).
  • Si A = \(\begin{pmatrix} –3 & 6 & 7\\4 & –8 & 5\end{pmatrix}\), alors B = \(\begin{pmatrix} –3 & 4\\6 & –8\\7 & 5\end{pmatrix}\).

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