mathématiques financières

mathématiques financières

On désigne sous l’expression de mathématiques financières un ensemble de procédés ou formules qui permettent la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les opérations financières d’une certaine durée tels que les emprunts et placements, les investissements et les calculs de rendement, notamment dans le domaine des marchés financiers.

Les variables qui interviennent dans ces phénomènes sont les montants investis ou empruntés, la durée de l’investissement ou de l’amortissement et le taux d’intérêt simple ou composé qui est appliqué.

Formules

Dans ce qui suit, les variables utilisées sont les suivantes :

−  \(C_0\) : valeur initiale ou valeur actuelle
−  \(C_n\) : valeur finale après \(n\) périodes, ou valeur future
−  \(i_N\) : taux d’intérêt nominal ou par année
−  \(i\) : taux d’intérêt périodique exprimé en notation décimale
−  \(n\) : nombre de périodes considérées
−  \(Pmt\) : valeur de l’annuité (remboursement ou investissement)
−  \(S_n\) : somme des valeurs capitalisées après \(n\) versements
−  \(S_0\) : valeur initiale à investir pour obtenir une annuité de \(Pmt\)

La terminologie particulière est présentée en caractères italiques.

  • Capitalisation après 1 an : \(C_n = C_0 + i × C_0\)
  • Intérêts simples annuels : \(I_A = C_0 × i\)
  • Profit :  \(I_{total} = C_n − C_0\)
  • Valeur finale (intérêts simples) : \(C_n = C_0 + (C_0 · i · n)\)
  • Taux de rendement (en pourcentage) : \(Rendement = \dfrac{Profit}{C_0} · 100\)
  • Taux d’intérêt périodique : \(i = \dfrac{i_N}{n}\)

Formules pour un montant initial fixe et un intérêt composé

  • Valeur initiale  : \(C_0 = \dfrac{C_n}{(1 + i)^n}\)
  • Valeur finale  : \(C_n = C_0 · (1 + i)^n\)
  • Nombre de périodes  : \(n = \dfrac{\textrm{ln} (\frac{C_n}{C_0})}{\textrm{ln}(1 + i)}\)
  • Taux d’intérêt  : \(i = \sqrt[n]{\dfrac{C_n}{C_0}} \space – 1\)

Formules pour une série de versements réguliers (Pmt) affectés d’un intérêt composé réinvesti à chaque fin de période

  • Valeur initiale : \(S_0 = Pmt · \left(   \dfrac{1 \space – (1+i)^{-n}}{i} \right) \)
  • Valeur finale :  \(S_n = Pmt · \left( \dfrac{(1 + i)^n \space – 1}{i} \right)\)
  • Nombre de périodes quand on connait la valeur actuelle : \(n = \dfrac{- \textrm{ln} \left( 1 \space – \frac{S_0}{Pmt} · i \right)}{\textrm{ln} (1 + i)}     \)
  • Nombre de périodes quand on connait la valeur finale : \(n = \dfrac{ \textrm{ln} \left( 1 \space + \frac{S_0}{Pmt} · i \right)}{\textrm{ln} (1 + i)}  \)
  • Montant des paiements quand on connait la valeur actuelle (formule utilisée pour calculer les remboursements réguliers \(Pmt\) d’une dette \(C_0\) :
    \(Pmt = S_0 · \left(  \dfrac{i}{1 \space – (1 + i)^{-n}}    \right)\)
  • Montant des paiements quand on connait la valeur finale (formule utilisée pour calculer les dépôts réguliers \(Pmt\) permettant de générer à terme un fonds \(C_n\) :
    \(Pmt = S_n · \left( \dfrac{i}{(1 + i)^n \space -1}  \right)\)