ellipse dans le plan cartésien

Lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante.

Toute ellipse se ramène par translation ou par rotation à une ellipse de base dont le centre est à l’origine du plan cartésien et dont les foyers sont sur l’axe des abscisses ou sur l’axe des ordonnées.

Équations

L’ellipse de base est l’ellipse centrée à l’origine, dont les sommets sont \(S_1(a, 0)\) et \(S_2(−a, 0)\) sur l’axe des abscisses et \(S_3(0, b)\) et \(S_4(0, −b)\) sur l’axe des ordonnées; les foyers sont les points de coordonnées \(F_1(c, 0)\) et \(F_2(−c, 0)\).

Si l’ellipse est centrée à l’origine, on obtient alors les données suivantes :

\(\dfrac{x^2}{a^2}\) + \(\dfrac{y^2}{b^2}\) = 1 où \({c^2}\) = \({a^2}\) – \({b^2}\) si l’axe transversal est l’axe des abscisses :

les coordonnées du centre de l’ellipse sont : C(0, 0)
les coordonnées de ses foyers sont : F\(_{1}\)(c, 0) et F\(_{2}\)(−c, 0)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe transversal sont : S\(_{1}\)(a, 0) et S\(_{2}\)(−a, 0)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe conjugué sont : S\(_{3}\)(0, b) et S\(_{4}\)(0,−b)

\(\dfrac{y^2}{a^2}\) + \(\dfrac{x^2}{b^2}\) = 1 où \({c^2}\) = \({a^2}\) – \({b^2}\), si l’axe transversal est l’axe des ordonnées :

les coordonnées du centre de l’ellipse sont : C(0, 0)
les coordonnées de ses foyers sont : F\(_{1}\)(0, c) et F\(_{2}\)(0, −c)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe transversal sont : S\(_{1}\)(0, a) et S\(_{2}\)(0, −a)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe conjugué sont : S\(_{3}\)(b, 0) et S\(_{4}\)(−b, 0)

Si l’ellipse n’est pas centrée à l’origine, on obtient alors les données suivantes :

\(\dfrac{(x\space –\space h)^2}{a^2}\) + \(\dfrac{(y\space –\space k)^2}{b^2}\) = 1, pour une ellipse dont l’axe transversal est parallèle à l’axe des abscisses :

les coordonnées du centre de l’ellipse sont : C(h, k)
les coordonnées de ses foyers sont : F\(_{1}\)(c + h, k) et F\(_{2}\)(−c + h, k)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe transversal sont : S\(_{1}\)(a + h, k) et S\(_{2}\)(−a + h, k)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe conjugué sont : S\(_{3}\)(h, b + k) et S\(_{4}\)(h,−b + k)

\(\dfrac{(y\space –\space k)^2}{a^2}\) + \(\dfrac{(x\space –\space h)^2}{b^2}\) = 1, pour une ellipse dont l’axe transversal est parallèle à l’axe des ordonnées :

les coordonnées du centre de l’ellipse sont : C(h, k)
les coordonnées de ses foyers sont : F\(_{1}\)(h, c + k) et F\(_{2}\)(h,−c + k)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe transversal sont : S\(_{1}\)(h, a + k) et S\(_{2}\)(h,−a + k)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe conjugué sont : S\(_{3}\)(b + h, k) et S\(_{4}\)(−b + h, k)

Exemple

Dans l’illustration ci-dessous, l’ellipse de base a été translatée de 6 unités vers la droite et de 3 unité vers le bas : (6, −3). On peut alors constater que :

les coordonnées du centre de l’ellipse sont : C(6, −3)
les coordonnées des foyers sont : F\(_{1}\)(4 + 6, −3) et F\(_{2}\)(−4 + 6, −3)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe transversal sont : S\(_{1}\)(5 + 6, −3) et S\(_{2}\)(−5 + 6, −3)
les coordonnées de ses sommets sur l’axe conjugué sont : S\(_{3}\)(6, 3 −3) et S\(_{4}\)(6, −3 + (−3))