annuité

annuité

Somme payée annuellement pour rencontrer un objectif financier, soit le remboursement d’un emprunt et les intérêts dus, soit l’investissement d’une somme régulière dans le but d’atteindre une capitalisation donnée.

L’annuité correspond à l’amortissement annuel du capital auquel on ajoute les intérêts.

Le terme peut également s’appliquer au paiement annuel d’un montant en vue d’effectuer un investissement.

Formules

Le calcul d’une annuité, pour un emprunt, dépend de la règle utilisée pour l’application des intérêts à payer. Les règles les plus courantes sont l’amortissement constant (même remboursement chaque année) et l’annuité constante (même montant à verser chaque année, incluant les intérêts applicables).

Pour un montant C0 emprunté pour une durée de \(n\) années à un taux d’intérêt annuel \(t\) (exprimé par un nombre décimal), l’annuité \(A\) se calcule de la façon suivante pour une annuité constante :

\(A\space=\space\dfrac {C_0\cdot t} {1-\left( 1+t\right) ^{-n}}\)

Dans le cas d’un amortissement annuel constant, les intérêts décroissent à chaque année et ainsi les annuités décroissent comme une suite arithmétique.  Pour un montant C0 emprunté pour une durée de \(n\) années à un taux d’intérêt annuel \(t\) (exprimé par un nombre décimal), l’annuité \(A_{i}\) à payer après \(i\) années se calcule de la façon suivante pour un amortissement constant :

\(A_{i}=A_{1}-\left( \dfrac {C_0\cdot t} {n}\right) \cdot \left( i-1\right)\)

A1 représente le montant à payer après la première année, soit \(\dfrac{C_0}{n} + C_0\cdot{t}\).

Une formule dérivée peut s’appliquer au calcul de la valeur future \(C_n\) d’un investissement par versements réguliers \(C_0\) à un taux d’intérêt périodique de \(i %\) pendant \(n\) périodes :

\(C_n\space = \space C_0\space · \space \dfrac{(1 +i)^n\space – 1}{i}\)

Exemple

Si un individu emprunte un montant C0 de 1000 $ à un taux d’intérêt annuel t de 8 % et devant être amorti sur une période n de 5 années, le montant d’une annuité constante sera égale à :

\(A=\dfrac {1000 \times 0,08} {1-\left( 1+0,08\right) ^{-5}}=\dfrac {80} {1-\left( 1,08\right) ^{-5}}=\dfrac {80} {0,3194168}\)

Et : A ≈ 250,46

Si cet individu opte pour un remboursement à amortissement annuel constant, le montant des annuités pour la durée de ces 5 années sera donné par le tableau suivant :

Année
i
Capital
initial
Intérêt
t
Amortissement
M / n
Annuité
Ai
Capital
non amorti
1 1000 80 200 280 800
2 800 64 200 264 600
3 600 48 200 248 400
4 400 32 200 232 200
5 200 16 200 216 0

Note didactique

On a tendance à placer sous le terme annuité des notions voisines telles que mensualité, semestrialité, etc.  Il faut éviter cette confusion et réserver le terme annuité pour une somme payée annuellement, alors que l’on utilisera le terme mensualité pour une somme payée tous les mois et le terme semestrialité pour une somme payée tous les six mois.