Fonction f de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{Z}\) telle que pour tout nombre réel x, f(x) est égal au plus grand entier inférieur ou égal à x.
Synonyme de fonction du plus grand entier.
Notation
- La partie entière de x se note [x].
- La relation définie par f(x) = [x] définit le modèle de base de la fonction partie entière.
Propriétés
- Le modèle général, qui se traduit par une fonction en escalier est défini par la relation f(x) = a[bx] dans laquelle le paramètre a caractérise la contremarche (ou le saut vertical) du graphique et le paramètre b caractérise la longueur de la marche horizontale ou de chaque segment horizontal du graphique.
- Le paramètre a est responsable d’un changement d’échelle vertical du graphique d’une valeur de |a| et de l’orientation – ou de la croissance – du graphique selon que a est positif ou négatif.
- Le paramètre b est responsable d’un changement d’échelle horizontal d’une valeur égale à \(\left| \dfrac {1}{\textrm{b}} \right|\) et de l’orientation – ou de la croissance – du graphique, selon que b est positif ou négatif.
- La forme canonique du modèle général est \(f(x) = \textrm{a}\left[\textrm{b}\left(x – \textrm{h}\right)\right] + \textrm{k}\) où les paramètres h et k caractérisent respectivement une translation horizontale et verticale du graphique de la relation de base.
Exemples
- Le graphique de la fonction définie par la règle f (x) = [x] est celui d’une relation de variation en escalier.
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- Le graphique suivant représente la fonction en escalier définie par la relation f[x] = −3[0,5x].
Dans ce cas, l’orientation du graphique a été inversée puisque le paramètre a est négatif. Le graphique a subi un changement d’échelle de 3 unités sur l’axe vertical et un changement d’échelle de |2| unités sur l’axe horizontal.