De façon générale, si on a les équations A\(_{1}\)x + B\(_{1}\)y = C\(_{1}\) et A\(_{2}\)x + B\(_{2}\)y = C\(_{2}\), alors :
D = \(\begin{pmatrix}A_{1} & B_{1}\\A_{2} & B_{2}\end{pmatrix}\) = A\(_{1}\)× B\(_{2}\) – A\(_{2}\)× B\(_{1}\)
D\(_{1}\) = \(\begin{pmatrix}C_{1} & B_{1}\\C_{2} & B_{2}\end{pmatrix}\) = C\(_{1}\)× B\(_{2}\) – B\(_{1}\)× C\(_{2}\)
D\(_{2}\) = \(\begin{pmatrix}A_{1} & C_{1}\\A_{2} & C_{2}\end{pmatrix}\) = A\(_{1}\)× C\(_{2}\) – A\(_{2}\)× C\(_{1}\)
x = \(\dfrac{D_{1}}{D}\) où D ≠ 0 et y = \(\dfrac{D_{2}}{D}\) où D ≠ 0
Exemple
Si on a les équations 3x + 2y = 12 et 5x + 2y = 16, alors :
D = \(\begin{pmatrix}3 & 2\\5 & 2\end{pmatrix}\) = 3 × 2 – 5 × 2 = –4
D\(_{1}\) = \(\begin{pmatrix}12 & 2\\16 & 2\end{pmatrix}\) = 12 × 2 – 2 × 16 = –8
D\(_{2}\) = \(\begin{pmatrix}3 & 12\\5 & 16\end{pmatrix}\) = 3 × 16 – 5 × 12 = –12
x = \(\dfrac{–8}{–4}\) = 2 et y = \(\dfrac{–12}{–4}\) = 3
Note historique*
Gabriel Cramer (1704-1752) était un mathématicien suisse qui, après avoir tenté de résoudre un système de cinq équations à cinq inconnues, par la méthode d’élimination habituelle, a écrit dans son ouvrage Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques : « Je crois avoir trouvé pour cela une règle assez commode et générale, lorsqu’on a un nombre quelconque d’équations et d’inconnues dont aucune ne passe le premier degré … ». C’est ainsi qu’on connait Cramer surtout pour cette règle, dont on oublie toutefois de dire qu’elle n’est pas de lui, mais plutôt de Colin Maclaurin (1698-1746), un mathématicien écossais, qui en publia l’énoncé dans son traité d’Algèbre, paru en 1748, soit deux ans après sa mort.
* D’après Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, tome 2, pp. 101-104.