La règle de Cramer utilise la notion de déterminant d'une
matrice.
De façon générale, si on a les équations A[latex]_{1}[/latex]
x + B[latex]_{1}[/latex]
y = C[latex]_{1}[/latex] et A[latex]_{2}[/latex]
x + B[latex]_{2}[/latex]
y = C[latex]_{2}[/latex], alors :
D = [latex]\begin{pmatrix}A_{1} & B_{1}\\A_{2} & B_{2}\end{pmatrix}[/latex] =
A[latex]_{1}[/latex]×
B[latex]_{2}[/latex] –
A[latex]_{2}[/latex]×
B[latex]_{1}[/latex]
D[latex]_{1}[/latex] = [latex]\begin{pmatrix}C_{1} & B_{1}\\C_{2} & B_{2}\end{pmatrix}[/latex] =
C[latex]_{1}[/latex]×
B[latex]_{2}[/latex] –
B[latex]_{1}[/latex]×
C[latex]_{2}[/latex]
D[latex]_{2}[/latex] = [latex]\begin{pmatrix}A_{1} & C_{1}\\A_{2} & C_{2}\end{pmatrix}[/latex] =
A[latex]_{1}[/latex]×
C[latex]_{2}[/latex] –
A[latex]_{2}[/latex]×
C[latex]_{1}[/latex]
x = [latex]\dfrac{D_{1}}{D}[/latex] où D ≠ 0 et
y = [latex]\dfrac{D_{2}}{D}[/latex] où D ≠ 0
Exemple
Si on a les équations 3x + 2y = 12 et 5x + 2y = 16, alors :
D = [latex]\begin{pmatrix}3 & 2\\5 & 2\end{pmatrix}[/latex] = 3 × 2 – 5 × 2 = –4
D[latex]_{1}[/latex] = [latex]\begin{pmatrix}12 & 2\\16 & 2\end{pmatrix}[/latex] = 12 × 2 – 2 × 16 = –8
D[latex]_{2}[/latex] = [latex]\begin{pmatrix}3 & 12\\5 & 16\end{pmatrix}[/latex] = 3 × 16 – 5 × 12 = –12
x = [latex]\dfrac{–8}{–4}[/latex] = 2 et y = [latex]\dfrac{–12}{–4}[/latex] = 3
Note historique*
Gabriel Cramer (1704-1752) était un mathématicien suisse qui, après avoir tenté de résoudre un système de cinq équations à cinq inconnues, par la méthode d'élimination habituelle, a écrit dans son ouvrage Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques : « Je crois avoir trouvé pour cela une règle assez commode et générale, lorsqu'on a un nombre quelconque d'équations et d'inconnues dont aucune ne passe le premier degré ... ». C'est ainsi qu'on connait Cramer surtout pour cette règle, dont on oublie toutefois de dire qu'elle n'est pas de lui, mais plutôt de Colin Maclaurin (1698-1746), un mathématicien écossais, qui en publia l'énoncé dans son traité d'Algèbre, paru en 1748, soit deux ans après sa mort.
* D'après Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, tome 2, pp. 101-104.
