Propriétés
- L’axe de la parabole est un axe de symétrie. Cet axe contient le sommet et le foyer. On l’appele l’axe focal de la parabole.
- On peut dire qu’un point P est sur la parabole si et seulement si : d(P, F) = d(P, d), c’est-à-dire si : \(\textrm{m}\overline{\textrm{PH}}\) = \(\textrm{m}\overline{\textrm{PF}}\).
- Le sommet d’une parabole est le point de rencontre de l’axe de la parabole et de la parabole.
- Toute corde qui passe par le foyer de la parabole et qui relie deux points de cette parabole est appelée une corde focale. Celle qui est perpendiculaire à l’axe focal est appelée le latus rectum de la parabole.
- Toute parabole se ramène, par translation ou rotation, à une parabole dont le foyer est sur un des axes du plan cartésien et dont le sommet est à l’origine. La parabole d’équation \(y^{2} = 2px\) est appelée la parabole de base.
(1) y\(^{2}\) = 2px et p > 0 :
(2) y\(^{2}\) = 2px et p < 0 :
(3) x\(^{2}\) = 2py et p > 0 :
(4) x\(^{2}\) = 2py et p < 0 :
Si, après une translation du système de coordonnées, les coordonnées du sommet sont (h, k), l’équation de la parabole prend alors l’une ou l’autre des formes canoniques suivantes :
(i) L’équation est (y – k)\(^{2}\) = 2p(x – h), son sommet est S(h, k), son foyer est F(h + \(\frac{p}{2}\), k) et l’équation de sa directrice est x = h – \(\frac{p}{2}\).
Elle est ouverte vers la droite si p > 0 et vers la gauche, si p < 0.
L’équation de son axe de symétrie est y = k.
(ii) L’équation est (x – h)\(^{2}\) = 2p(y – k), son sommet est S(h, k), son foyer est F(h, k + \(\frac{p}{2}\)) et l’équation de sa directrice est y = k – \(\frac{p}{2}\).
Elle est ouverte vers le haut si p > 0 et vers le bas, si p < 0.
L’équation de son axe de symétrie est x = h.