Propriétés

• L'axe de la parabole est un axe de symétrie. Cet axe contient le sommet et le foyer. On l'appele l'axe focal de la parabole.

• On peut dire qu'un point P est sur la parabole si et seulement si : d(P, F) = d(P, d), c'est-à-dire si : [latex]\textrm{m}\overline{\textrm{PH}}[/latex] = [latex]\textrm{m}\overline{\textrm{PF}}[/latex].
• Le sommet d'une parabole est le point de rencontre de l'axe de la parabole et de la parabole.
• Toute corde qui passe par le foyer de la parabole et qui relie deux points de cette parabole est appelée une corde focale. Celle qui est perpendiculaire à l'axe focal est appelée le latus rectum de la parabole.
• Toute parabole se ramène, par translation ou rotation, à une parabole dont le foyer est sur un des axes du plan cartésien et dont le sommet est à l'origine. La parabole d'équation [latex]y^{2} = 2px[/latex] est appelée la parabole de base.

(1) y[latex]^{2}[/latex] = 2px et p > 0 :

(2) y[latex]^{2}[/latex] = 2px et p < 0 :

(3) x[latex]^{2}[/latex] = 2py et p > 0 : (4) x[latex]^{2}[/latex] = 2py et p < 0 :

Si, après une translation du système de coordonnées, les coordonnées du sommet sont (h, k), l'équation de la parabole prend alors l'une ou l'autre des formes canoniques suivantes :

(i) L'équation est (y – k)[latex]^{2}[/latex] = 2p(x – h), son sommet est S(h, k), son foyer est F(h + [latex]\frac{p}{2}[/latex], k) et l'équation de sa directrice est x = h – [latex]\frac{p}{2}[/latex].

Elle est ouverte vers la droite si p > 0 et vers la gauche, si p < 0. L'équation de son axe de symétrie est y = k.

(ii) L'équation est (x – h)[latex]^{2}[/latex] = 2p(y – k), son sommet est S(h, k), son foyer est F(h, k + [latex]\frac{p}{2}[/latex]) et l'équation de sa directrice est y = k – [latex]\frac{p}{2}[/latex].

Elle est ouverte vers le haut si p > 0 et vers le bas, si p < 0. L'équation de son axe de symétrie est x = h.