Le mathématicien Euler a défini ce nombre irrationnel comme étant la limite de la série mathématique suivante :
\(e = 1 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1 × 2} + \dfrac{1}{1 × 2 × 3} + \dfrac{1}{1 × 2 × 3 × 4} + … = \sum\limits_{n=0}^{+\infty } \dfrac{1}{n!}\).
Notation
Si \(a\) = e\(^{n}\), alors \(n\) est le logarithme de \(a\) en base e.
Cette relation s’écrit « \(n\) = \(\log_{e}\) \((a)\) » qui se lit « \(n\) est égal au logarithme de \(a\) en base e ».
Le logarithme à base e de x se note aussi \(\ln{x}\) pour « logarithme naturel de x.
Exemples
- Si \(\log_{e}(5,590) ≈ 1,721\), alors 5,590 ≈ e\(^{1,721}\).
- Si \(\log_{e}(12,566) ≈ 2,531\), alors 12,566 ≈ e\(^{2,531}\).
Note historique
Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l’origine des premières tables logarithmiques en mathématiques.
Léonard Euler fut le premier à utiliser le symbole e comme base d’un système naturel de logarithmes dans une lettre écrite en 1731. En 1737, il prouva que le nombre e était un nombre irrationnel. Puis, en 1873, le mathématicien français Charles Hermite (1822-1901) prouva que le nombre e était un nombre transcendant.