logarithme népérien d’un nombre

Exposant dont il faut affecter le nombre e pour obtenir un nombre donné.

La lettre e désigne le nombre irrationnel dont une valeur approchée est 2,718 28.

Le mathématicien Euler a défini ce nombre irrationnel comme étant la limite de la série mathématique suivante :

$e = 1 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1 × 2} + \dfrac{1}{1 × 2 × 3} + \dfrac{1}{1 × 2 × 3 × 4} + … = \sum\limits_{n=0}^{+\infty } \dfrac{1}{n!}$ .

Notation

Si $a$ = e $^{n}$ , alors $n$ est le logarithme de $a$ en base e.

Cette relation s’écrit « $n$ = $\log_{e}$ $(a)$ » qui se lit « $n$ est égal au logarithme de $a$ en base e ».

Le logarithme à base e de x se note aussi $\ln{x}$ pour « logarithme naturel de x.

Exemples

Si $\log_{e}(5,590) ≈ 1,721$ , alors 5,590 ≈ e $^{1,721}$ .
Si $\log_{e}(12,566) ≈ 2,531$ , alors 12,566 ≈ e $^{2,531}$ .

Note historique

Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l’origine des premières tables logarithmiques en mathématiques.

Léonard Euler fut le premier à utiliser le symbole e comme base d’un système naturel de logarithmes dans une lettre écrite en 1731. En 1737, il prouva que le nombre e était un nombre irrationnel. Puis, en 1873, le mathématicien français Charles Hermite (1822-1901) prouva que le nombre e était un nombre transcendant.