Exposant dont il faut, pour obtenir un nombre donné, affecter un autre nombre appelé la base du logarithme.
La partie entière d’un logarithme porte le nom de caractéristique alors que sa partie décimale porte le nom de mantisse.
- Un logarithme décimal est un logarithme à base \(10\).
- Un logarithme naturel – ou logarithme népérien – est un logarithme à base \(e\).
Notation
Le logarithme du nombre \(a\) dans la base \(b\) se note \(\log_{b}(a)\), où \(b\) est un nombre positif, différent de \(1\).
Propriétés
- Le logarithme de \(1\) est égal à \(0\) : \(log_{b}(1) = 0\).
- Le logarithme d’un produit \(xy\) est égal à la somme des logarithmes de ses facteurs \(x\) et \(y\) : \(\log_{b}(xy) = \log_{b}(x) + \log_{b}(y)\), si \(x \gt 0\) et \(y \gt 0\).
- Le logarithme d’un quotient \(\dfrac{x}{y}\) est égal à la différence des logarithmes du dividende et du diviseur : \(\log_{b}\dfrac{x}{y} = \log_{b}(x)\space –\space \log_{b}(y)\), si si \(x \gt 0\) et \(y \gt 0\).
- Le logarithme d’une puissance \({x^y}\) est égal au produit de l’exposant \(y\) par le logarithme de \(x\) en base \(b\) : \(\log_{b}{(x^y)} = y \log_{b}(x)\), si \(x \gt 0\).
- Le logarithme d’une racine \(\sqrt[x]{y}\) est égal au logarithme du nombre \(y\) dont on cherche la racine divisé par l’exposant \(x\) : \(\log_b(\sqrt[x]{y}) = \dfrac{1}{x}\log_{b}(y)\), si \(y \geq 2\) et \(y \geq 0\).
Exemple
Si le logarithme à base \(10\) de \(100\), noté \(\log _{10}\left( 100\right)\), est \(2\), alors : \(100=10^{2}\).
La mantisse (partie décimale) est donc \(0\) alors que la caractéristique (partie entière) est \(2\).
La caractéristique donne aussi ce qu’on appelle l’ordre de grandeur de \(2000\).
Ici on a un ordre de grandeur de \(10^{2}\).
On remarquera que l’expression \(\log _{10}\left( 100\right)=2\) est équivalente à l’expression \(10^{2}=100\).