Relation entre deux quantités de même valeur ou entre deux représentations d’un même objet mathématique.
Notations
- La relation d’égalité se note à l’aide du symbole « = » qui se lit : « est égal à ».
- Ce symbole ne peut être utilisé qu’entre des nombres, des variables numériques ou des ensembles.
- La relation de non égalité se note à l’aide du symbole « ≠ » qui se lit : « n’est pas égal à » ou « est différent de ».
- La relation d’approximation se note à l’aide du symbole « ≈ » qui se lit : « est approximativement égal à ».
- Dans le cas des conversions de mesures, le symbole « = » devrait se lire : « est équivalent à ». Par exemple : la relation « 1 m = 100 cm » devrait se lire « un mètre équivaut à cent centimètres ».
Propriétés
- La relation d’égalité est réflexive, symétrique et transitive; elle est donc une relation d’équivalence.
Elle est aussi antisymétrique. - La relation d’égalité est aussi soumise à certains axiomes, à savoir :
- pour tout réels x, y et z, si x = y, alors x + z = y + z (on peut additionner un nombre réel dans chaque membre d’une égalité sans changer la valeur logique de l’égalité);
- pour tout réels x, y et z, si x = y, alors x – z = y – z (on peut soustraire un nombre réel dans chaque membre d’une égalité sans changer la valeur logique de l’égalité);
- pour tout réels x, y et z, si x = y, alors xz = yz (on peut multiplier par un nombre réel chaque membre d’une égalité sans changer la valeur logique de l’égalité);
- pour tout réels x, y et z non nuls, si x = y, alors x ÷ z = y ÷ z (on peut diviser chaque membre d’une égalité par un nombre réel non nul sans changer la valeur logique de l’égalité).
Exemple
La relation 12 + 21 = 33 se lit : « douze plus vingt-et-un est égal à trente-trois ».
Note didactique
La relation d’égalité, à travers les âges et les cultures, a pris plusieurs sens apparentés tels que : a même valeur que, ou est pareil en forme et en dimensions à ou encore signifie la même chose que, etc. On a ainsi élaboré sur les cas d’égalité de triangles, l’égalité entre des équations équivalentes, l’égalité des mesures exprimées dans des unités différentes ou des systèmes de mesures différents. Bref, la relation d’égalité a été substituée à la relation d’équivalence, de congruence, de similitude, d’isométrie, etc.
Dans ce lexique, on a donné au terme égal le sens de l’identité, comme dans 24 = 24, ou 24 = 20 + 4 (même valeur numérique) ou a² − b² = (a + b)(a − b) exprimant une égalité numérique quelles que soient les valeurs de a et de b. Aussi, deux ensembles sont égaux lorsqu’ils comprennent exactement les mêmes éléments; ils sont une copie l’un de l’autre. Deux figures géométriques sont égales lorsque l’une est superposée à l’autre (et non une transformée de l’autre, auquel cas elles sont isométriques).
Il nous apparait important de bien faire ressortir en classe les distinctions qui existent entre des relations telles que la relation d’égalité, la relation d’équivalence, la relation de similitude, la relation d’isométrie, la relation de congruence, etc. qui traduisent des propriétés différentes des objets mathématiques lorsqu’ils sont comparés entre eux.