Nombre réel pouvant s’exprimer comme la somme d’une suite infinie de nombre réels, soit une expression de la forme \(a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n\), soit, en abrégé, \(\sum\limits_{i=1}^{+\infty }a_i\) où les \(a_i\) sont les termes d’une suite numérique {\(a_n\)} infinie de nombres réels.
Une série est une somme de termes alors qu’une suite numérique est une liste de termes. Dans les deux cas, la séquence des termes est régie par une règle arithmétique.
Propriété
- Une série est dite finie ou infinie selon qu’elle contient un nombre fini ou infini de termes. Une série infinie est synonyme de série.
- Une série arithmétique est une série dont les termes sont éléments d’une suite arithmétique.
- Une série convergente est une série qui tend vers un nombre donné.
- Une série divergente est une série qui n’est pas convergente.
Symbole
Pour désigner une sommation de façon abrégée, on utilise la lettre grecque majuscule Σ, qui se lit « sigma ».
L’expression \(\sum\limits_{i=1}^{+\infty }a_i\) se lit « la somme des \(a_i\) pour i variant de 1 à +∞ ».
Lorsqu’il s’agit de décrire la somme d’une suite finie des n premiers termes d’une suite, on utilisera la notation \(S_n\).
Exemples
- La série \(S_n\) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + n est une série arithmétique qui est la somme des nombres naturels successifs jusqu’à n.
- La série de fractions décimales \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{3}{1000} + \dfrac{3}{10 000} + … \) est une série convergente dont la limite est le nombre rationnel \(\dfrac{1}{3}\) ou la suite décimale périodique \(0,\overline{3}\).
- La série \(S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) est divergente. Sa limite est +∞.