Propriétés

Les propriétés de l'égalité sont d'abord les propriétés logiques qui en font une relation d'équivalence :

• la réflexivité : quel que soit x, on a toujours x = x;
• la symétrie : si x = y alors y = x;
• la transitivité : si x = y et y = z, alors x = z.

Les propriétés opératoires (propres à chaque opération) sont les suivantes :

• propriétés additives :
  • si x = y, alors x + z = y + z, quel que soit z;
  • si x + u = x + v, alors u = v;
  • corollairement, quel que soit z : si x = y, alors x − z = y − z.
• Ces propriétés peuvent être généralisées à toutes les opérations de la façon suivante :
  • si x = y, alors x z = y z, quel que soit z différent de l'élément absorbant de l'opération,  si x u = x v, alors u = v, quel que soit x différent de l'élément absorbant de l'opération.

Ces propriétés sont ainsi valables pour les opérations de multiplication et de division, puisque la restriction précédente élimine le cas de la division par zéro.