Les propriétés qui permettent de résoudre une équation sont les propriétés de la relation d’égalité, la réflexivité, la symétrie et la transitivité, et les propriétés opératoires.
Ces propriétés sont vraies aussi bien en arithmétique, en algèbre que dans le langage propositionnel.
En résumé, cela peut se traduire par : ce que l’on effectue dans un membre de l’égalité, on peut le faire de même dans l’autre membre de l’égalité sans changer la valeur de vérité de l’égalité.
Propriétés
Les propriétés de l’égalité sont d’abord les propriétés logiques qui en font une relation d’équivalence :
- la réflexivité : quel que soit x, on a toujours x = x;
- la symétrie : si x = y alors y = x;
- la transitivité : si x = y et y = z, alors x = z.
Les propriétés opératoires (propres à chaque opération) sont les suivantes :
- propriétés additives :
- si x = y, alors x + z = y + z, quel que soit z;
- si x + u = x + v, alors u = v;
- corollairement, quel que soit z : si x = y, alors x − z = y − z.
- Ces propriétés peuvent être généralisées à toutes les opérations de la façon suivante :
- si x = y, alors x z = y z, quel que soit z différent de l’élément absorbant de l’opération,
si x u = x v, alors u = v, quel que soit x différent de l’élément absorbant de l’opération.
- si x = y, alors x z = y z, quel que soit z différent de l’élément absorbant de l’opération,
Ces propriétés sont ainsi valables pour les opérations de multiplication et de division, puisque la restriction précédente élimine le cas de la division par zéro.
Exemple
Pour isoler la variable y dans l’équation \(4x + 2y = 6x + 10\), on peut procéder comme ceci :
| \(4x + 2y = 6x + 10\) | \(⇔\) | \(4x + 2y − 6x = 6x + 10 − 6x\) | propriété additive |
| \(⇔\) | \((4x − 6x) + 2y = (6x − 6x) + 10\) | commutativité et associativité de l’addition |
|
| \(⇔\) | \(− 2x + 2y = 10\) | calcul | |
| \(⇔\) | \(−2x + 2y − 2x = 10 − 2x\) | propriété additive | |
| \(⇔\) | \((− 2x − 2x) + 2y = 10 − 2x\) | commutativité et associativité de l’addition | |
| \(⇔\) | \(2y = 10 − 2x\) | calcul | |
| \(⇔\) | \(\dfrac{2y}{2} = \dfrac{(10 − 2x)}{2}\) | propriété multiplicative | |
| \(⇔\) | \(y = \dfrac{10}{2} − \dfrac{2x}{2}\) | distributivité de la division sur l’addition | |
| \(⇔\) | \(y = 5 − x\) | calcul |