Soit deux vecteurs \(\overrightarrow {u}\) et \(\overrightarrow {v}\); le nombre réel résultant de l’opération notée \(\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}\) et telle que \(\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}=\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\| \cos \theta\), où \(\left\| \overrightarrow {u}\right\|\) désigne la norme du vecteur \(u\), \(\left\| \overrightarrow {v}\right\|\) désigne la norme du vecteur\(v\) et \(\theta\) est la mesure de l’angle formé entre les directions des deux vecteurs.
Si les composantes cartésiennes des vecteurs \(\overrightarrow {u}\) et \(\overrightarrow {v}\) sont respectivement (a, b) et (c, d), alors \(\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v}=ac+bd\).
Le produit scalaire de deux vecteurs est donc un nombre réel (un scalaire).
Notes didactiques
- Le produit scalaire est différent de la multiplication d’un vecteur par un scalaire puisque :
- le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel; les deux opérandes d’un produit scalaire sont des vecteurs;
- les opérandes de la multiplication d’un vecteur par un scalaire sont un vecteur et un nombre réel; le résultat de la multiplication d’un vecteur par un scalaire est un vecteur.
- L’expression « multiplication vectorielle », qui devrait référer à une opération interne dans l’ensemble des vecteurs et qui aurait pour résultat un vecteur, est inappropriée, car le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel et non un vecteur, alors que la multiplication d’un vecteur par un scalaire est une opération externe.