plus petit commun multiple

plus petit commun multiple

Si m et n sont des nombres entiers, le plus petit multiple commun à m et n est le plus petit nombre entier strictement positif qui est à la fois un multiple de m et n.

Notation

La notation pour le « plus petit commun multiple » de plusieurs nombres est « PPCM(a, b, …, z) » qui signifie « plus petit commun multiple de a, b, …, z ».

Propriétés

  • Le PPCM est toujours un nombre entier positif.
  • Relation entre le PGCD et le PPCM.
    Soit : PGCD(m, n) = p et PPCM(m, n) = q.
    Alors : PGCD(m, n) × PPCM(m, n) = m × n.
    Et on peut écrire : p × q = m × n.
    Si PGCD(8, 12) = 4 et PPCM(8, 12) = 24, alors : 4 × 24 = 8 × 12.
  • Par extension, on peut trouver le PPCM de deux ou plusieurs polynômes.
    x\(^{2}\) – 9 = (x + 3)(x – 3)
    x\(^{2}\) – x – 12 = (x + 3)(x – 4)
    x\(^{2}\) + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
    Alors : le PPCM de ces trois polynômes est : (x + 3)(x + 3)(x – 3)(x – 4).

Exemples

  • Si mult(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …} et mult(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, …},
    alors : PPCM(12, 15) = 60.

    • On voit que : 12 = 2 × 2 × 3 et 15 = 3 × 5
    • Alors : PPCM(12, 15) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
  • Si mult(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, …} et mult(21) = {0, 21, 42, 63, 84, …}, alors :
    PPCM(9, 21) = 63.

    • On voit que : 9 = 3 × 3 et 21 = 3 × 7
    • Alors : PPCM(9, 21) = 3 × 3 × 7 = 63