Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Étant donné un scalaire k non nul et un vecteur [latex]\overrightarrow{v}[/latex], le produit k[latex]\overrightarrow{v}[/latex] est le vecteur dont :
- la longueur est le produit de la longueur de [latex]\overrightarrow{v}[/latex] par la valeur absolue de k;
- la direction est celle de [latex]\overrightarrow{v}[/latex];
- le sens est celui de [latex]\overrightarrow{v}[/latex] si k > 0 ou son opposé si k < 0.
- Si k = 0 ou si [latex]\overrightarrow{v}[/latex] = 0, alors [latex]k\overrightarrow{v}[/latex] = 0.
- Dans l'écriture de la multiplication, et dans le résultat, le scalaire précède toujours le vecteur : 2 × [latex]\overrightarrow{v}[/latex] = 2[latex]\overrightarrow{v}[/latex].
- Si [latex]\overrightarrow{v} = (a, b)[/latex], alors [latex]k\overrightarrow{v} = k(a, b) = (ka, kb)[/latex].
Propriétés
- si [latex]\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}[/latex] avec [latex]k = 0[/latex], alors [latex]k\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}[/latex];
- si [latex]\overrightarrow{v} ≠ \overrightarrow{0}[/latex] et [latex]k > 0[/latex], alors et [latex]\overrightarrow{v}[/latex] et [latex]k\overrightarrow{v}[/latex] ont la même direction et le même sens et [latex]\|k\overrightarrow{v}\|[/latex] = [latex]k · \|\overrightarrow{v}\|[/latex], où [latex]\|\overrightarrow{v}\|[/latex] désigne la norme du vecteur [latex]\overrightarrow{v}[/latex];
- si [latex]\overrightarrow{v} ≠ \overrightarrow{0}[/latex] et [latex]k < 0[/latex], alors [latex]\overrightarrow{v}[/latex] et [latex]k\overrightarrow{v}[/latex] ont la même direction, des sens opposés et [latex]\|k\overrightarrow{v}\|[/latex] = [latex]−k · \|\overrightarrow{v}\|[/latex];
- les vecteurs [latex]\overrightarrow{u}[/latex] et [latex]\overrightarrow{v}[/latex] sont dit colinéaires s'il existe un nombre réel [latex]k[/latex] non nul tel que [latex]\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}[/latex].