Étant donné un scalaire k non nul et un vecteur \(\overrightarrow{v}\), le produit k\(\overrightarrow{v}\) est le vecteur dont :
- la longueur est le produit de la longueur de \(\overrightarrow{v}\) par la valeur absolue de k;
- la direction est celle de \(\overrightarrow{v}\);
- le sens est celui de \(\overrightarrow{v}\) si k > 0 ou son opposé si k < 0.
- Si k = 0 ou si \(\overrightarrow{v}\) = 0, alors \(k\overrightarrow{v}\) = 0.
- Dans l’écriture de la multiplication, et dans le résultat, le scalaire précède toujours le vecteur : 2 × \(\overrightarrow{v}\) = 2\(\overrightarrow{v}\).
- Si \(\overrightarrow{v} = (a, b)\), alors \(k\overrightarrow{v} = k(a, b) = (ka, kb)\).
Propriétés
- si \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\) avec \(k = 0\), alors \(k\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\);
- si \(\overrightarrow{v} ≠ \overrightarrow{0}\) et \(k > 0\), alors et \(\overrightarrow{v}\) et \(k\overrightarrow{v}\) ont la même direction et le même sens et \(\|k\overrightarrow{v}\|\) = \(k · \|\overrightarrow{v}\|\), où \(\|\overrightarrow{v}\|\) désigne la norme du vecteur \(\overrightarrow{v}\);
- si \(\overrightarrow{v} ≠ \overrightarrow{0}\) et \(k < 0\), alors \(\overrightarrow{v}\) et \(k\overrightarrow{v}\) ont la même direction, des sens opposés et \(\|k\overrightarrow{v}\|\) = \(−k · \|\overrightarrow{v}\|\);
- les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont dit colinéaires s’il existe un nombre réel \(k\) non nul tel que \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\).