exponentiation

exponentiation

Opération qui consiste à associer à un couple (a, b) de nombres entiers le nombre ab, appelé la b-ième puissance de a.

Tout comme une multiplication correspond à une addition répétée, de la même façon une exponentiation correspond à une multiplication répétée.

  • Si b est un nombre entier positif, l’opération exponentiation signifie que le nombre a est utilisé b fois comme facteurs.
    Exemple : \({5}^{4}\) = 5 × 5 × 5 × 5
  • Si b est un nombre entier négatif, l’opération exponentiation signifie que l’inverse du nombre a est utilisé b fois comme facteurs.
    Exemple : \({5}^{-4}\) = \({\frac{1}{5}}^4\) = 1/5 × 1/5 × 1/5 × 1/5
  • Si b = 1, alors : \({a}^{b}\) = a.
    Exemple : \({5}^{1}\) = 5
  • Si b = 0, alors : \({a}^{b}\) = 1.
    Exemple : \({5}^{0}\) = 1
  • Si a = 1, alors : \({a}^{b}\) = 1.
    Exemple : \({1}^{4}\) = 1

Propriétés

  • Pour tout nombre a, on a : a1 = a
  • Pour tout nombre a, on a : a0 = 1.
  • Pour tout nombre a, on a : 1a = 1.
  • Pour tout nombre a non nul, on a : 0a = 0.

Exemple

Dans l’expression \({3}^{4}\)= 81, le nombre 3 est la base, le nombre 4 est l’exposant et le nombre 81 est la puissance.

Notes didactiques

  • Lorsque b = 0, on peut démontrer que, pour a non nul, le résultat est 1.
  • Lorsque a = 0, il est moins simple de démontrer simplement, pour le niveau primaire ou secondaire, que le résultat est encore 1.   On accepte alors de mentionner qu’on généralise le résultat, par convention.  Toutefois il existe des démonstrations toutes naturelles de ce résultat, par le recours à la théorie des ensembles, par exemple, où l’opération d’exponentiation correspond au cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble A vers un ensemble B :
    n(BA) = n(B)n(A) = n({f | f est une application de A vers B}).
  • On dit parfois, à tort, que l’exposant n d’une exponentiation indique le nombre fois qu’un nombre est multiplié par lui-même. En réalité, l’exposant indique le nombre de fois que le nombre est répété, alors que le nombre de multiplications est (n – 1) :  4³ = 4 × 4 × 4.  On voit bien ici qu’il y a 3  facteurs 4, mais on a multiplié 4 à deux reprises seulement.