application

application

Une application est une relation d’un ensemble E vers un ensemble F telle que tout élément de l’ensemble E a une et une seule image dans l’ensemble F.

Une application d’un ensemble E dans lui même est appelée une transformation de l’ensemble E.

Synonyme de fonction.

Propriétés

  • Application bijective
    Application qui est à la fois injective et surjective.
    Synonyme de bijection.
  • Application injective
    Application f d’un ensemble E vers un ensemble F dans laquelle des éléments distincts du domaine ont des images distinctes.
    Synonyme d’injection.
  • Application surjective
    Application f d’un ensemble E vers un ensemble F dont l’image est égale à l’ensemble d’arrivée F.
    Synonyme de surjection.

Exemples

  • La relation de \(\mathbb {N}\) dans \(\mathbb {N}\) qui à tout nombre naturel x fait correspondre son double 2x est une application injective de \(\mathbb {N}\) dans \(\mathbb {N}\), soit une injection.
  • La relation de \(\mathbb {Q}\) dans \(\mathbb {Q}\) qui à tout nombre rationnel x fait correspondre sa demie 0,5x est une application bijective de \(\mathbb {Q}\) dans \(\mathbb {Q}\), soit une bijection, puisque d’une part, à chaque nombre rationnel correspond sa moitié, et d’autre part, chaque nombre rationnel est la demie d’un autre nombre rationnel.
  • La relation de \(\mathbb {Z}\) dans \(\mathbb {N}\) qui à tout nombre entier x fait correspondre sa valeur absolue |x| est une application surjective de \(\mathbb {Z}\) dans \(\mathbb {N}\), soit une surjection, puisque tout nombre naturel est l’image (la valeur absolue) d’au moins un nombre entier.