La distributivité de la multiplication sur l’addition (ou la soustraction) est une opération qui permet de passer d’un produit de sommes (ou de différences) à une somme (ou une différence) de produits.
Exemples
7 × 36 = 7 × (30 + 6) = 7 × 30 + 7 × 6 = 210 + 42 = 252
7 × 36 = 7 × (40 – 4) = 7 × 40 – 7 × 4 = 280 – 28 = 252
Propriété
La propriété de distributivité permet de faciliter les calculs.
Elle permet surtout d’être plus efficace en calcul mental.
Une opération notée ⊗ se distribue sur une opération notée ⊕ si, quels que soient les nombres a, b et c, on a : a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c). Cette propriété s’appelle la distributivité.
Plus précisément, on parle de distributivité à gauche si : a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
Et on parle de distributivité à droite si : (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
Exemples
- Dans l’ensemble des nombres réels, la multiplication se distribue sur l’addition :
12 × (3 + 10) = (12 × 3) + (12 × 10) = 36 + 120 = 156 - Dans l’ensemble des nombres réels, la multiplication se distribue sur la soustraction :
25 × (20 − 5) = (25 × 20) − (25 × 5) = 500 − 125 = 375 - Dans la théorie des ensembles, on peut montrer que dans un référentiel U, on a les égalités suivantes pour les sous-ensembles A, B et C de U :
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); cela signifie que l’intersection d’ensembles se distribue à gauche sur l’union d’ensembles. On pourrait montrer également que l’union d’ensembles se distribue sur l’intersection d’ensembles :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)