distributivité

distributivité

La distributivité de la multiplication sur l’addition (ou la soustraction) est une opération qui permet de passer d’un produit de sommes (ou de différences) à une somme (ou une différence) de produits.

Exemples

7 × 36 = 7 × (30 + 6) = 7 × 30 + 7 × 6 = 210 + 42 = 252
7 × 36 = 7 × (40 – 4) = 7 × 40 – 7 × 4 = 280 – 28 = 252

Propriété

La propriété de distributivité permet de faciliter les calculs.
Elle permet surtout d’être plus efficace en calcul mental.

Une opération notée ⊗ se distribue sur une opération notée ⊕ si, quels que soient les nombres a, b et c, on a : a ⊗ (bc) = (ab) ⊕ (ac). Cette propriété s’appelle la distributivité.

Plus précisément, on parle de distributivité à gauche si : a ⊗ (bc) = (ab) ⊕ (ac).
Et on parle de distributivité à droite si : (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (c).

Exemples

  • Dans l’ensemble des nombres réels, la multiplication se distribue sur l’addition :
    12 × (3 + 10) = (12 × 3) + (12 × 10) = 36 + 120 = 156
  • Dans l’ensemble des nombres réels, la multiplication se distribue sur la soustraction :
    25 × (20 − 5) = (25 × 20) − (25 × 5) = 500 − 125 = 375
  • Dans la théorie des ensembles, on peut montrer que dans un référentiel U, on a les égalités suivantes pour les sous-ensembles A, B et C de U :
    A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); cela signifie que l’intersection d’ensembles se distribue à gauche sur l’union d’ensembles. On pourrait montrer également que l’union d’ensembles se distribue sur l’intersection d’ensembles :
    A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)