base d’un espace vectoriel

base d’un espace vectoriel

Dans un espace géométrique E, ensemble de vecteurs linéairement indépendants tel que tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire de ces vecteurs.

En combinant linéairement deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de directions différentes, on peut obtenir tous les vecteurs du plan.  On dit alors que \((\overrightarrow{u},\space \overrightarrow{v})\) est une base de cet ensemble de vecteurs.

En d’autres termes, une base d’un espace vectoriel est une famille de vecteurs  qui permet de générer un espace vectoriel.

Exemple

Soit les deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) représentés ci-dessous et un autre vecteur \(\overrightarrow{w}\).

Les côtés du parallélogramme ABCD sont des multiples scalaires de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).  La construction ci-dessous montre que : \(\overrightarrow{w} \space = \space a \overrightarrow{u} \space + \space b \overrightarrow{v}\).

base_vecteur_2