translation dans un plan cartésien

translation dans un plan cartésien

Transformation de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)  dont la représentation cartésienne correspond à une translation du plan géométrique.

Formules

  • La règle d’une translation \(t\) de vecteur \((a, b)\) dans un plan cartésien est \(t_{a, b} : (x,  y) ↦ (x + a, y + b)\).
  • Pour une translation \(t\) dans le plan cartésien, définie par un vecteur \(\overrightarrow{t}(a, b)\), la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}x + a\\y+b\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette translation seront données par \(\begin{bmatrix}x + a\\y + b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).

Exemple

Voici la représentation cartésienne de la translation t de vecteur  (5, 1).

La définition de cette translation peut s’écrire : \(t_{5, 1} : (x,  y) ↦ (x + 5, y + 1)\) ou, en termes matriciels :  \(\begin{bmatrix}x + 5\\y + 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\)

Ainsi, par exemple, pour la translation du point \((-3,1)\) : \(\begin{bmatrix}-3 + 5\\1 + 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\)