Transformation de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dont la représentation cartésienne correspond à une réflexion du plan géométrique.
Formules
- La règle d’une réflexion \(s_x\) par rapport à l’axe des abscisses dans un plan cartésien est \(s_x : (x, y) ↦ (x, −y)\). La règle d’une réflexion \(s_x\) par rapport à l’axe des ordonnées dans un plan cartésien est \(s_x : (x, y) ↦ (−x, y)\).
- Pour une réflexion \(s_x\) par rapport à l’axe des abscisses dans un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette réflexion seront données par \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une réflexion \(s_x\) par rapport à l’axe des ordonnées dans un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}−1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette réflexion seront données par \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
Exemple
Voici la représentation cartésienne d’une réflexion par rapport à l’axe des abscisses :
La définition de cette réflexion peut s’écrire : \(s_x : (x, y) ↦ (x, −y)\) ou, en termes matriciels : \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 &−1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
Ainsi, par exemple, pour la réflexion du point \((-5,3)\) : \(\begin{bmatrix}1×−5\\−1 ×3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}−5\\−3\end{bmatrix}\)