Réflexion dans un plan cartésien
Transformation de [latex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/latex] dans [latex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/latex] dont la représentation cartésienne correspond à une réflexion du plan géométrique.
Formules
- La règle d'une réflexion [latex]s_x[/latex] par rapport à l'axe des abscisses dans un plan cartésien est [latex]s_x : (x, y) ↦ (x, −y)[/latex]. La règle d'une réflexion [latex]s_x[/latex] par rapport à l'axe des ordonnées dans un plan cartésien est [latex]s_x : (x, y) ↦ (−x, y)[/latex].
- Pour une réflexion [latex]s_x[/latex] par rapport à l'axe des abscisses dans un plan cartésien, la matrice de transformation est [latex]\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}[/latex], de telle sorte que les coordonnées [latex](x', y')[/latex] d'un point [latex]P(x, y)[/latex] par cette réflexion seront données par [latex]\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
- Pour une réflexion [latex]s_x[/latex] par rapport à l'axe des ordonnées dans un plan cartésien, la matrice de transformation est [latex]\begin{bmatrix}−1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}[/latex], de telle sorte que les coordonnées [latex](x', y')[/latex] d'un point [latex]P(x, y)[/latex] par cette réflexion seront données par [latex]\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
Exemple
Voici la représentation cartésienne d'une réflexion par rapport à l'axe des abscisses :
La définition de cette réflexion peut s'écrire : [latex]s_x : (x, y) ↦ (x, −y)[/latex] ou, en termes matriciels : [latex]\begin{bmatrix}1 & 0\\0 &−1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
Ainsi, par exemple, pour la réflexion du point [latex](-5,3)[/latex] : [latex]\begin{bmatrix}1×−5\\−1 ×3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}−5\\−3\end{bmatrix}[/latex]