Argumentation ou manière de raisonner par analogie, par induction, par déduction et un raisonnement proportionnel, algébrique, géométrique, arithmétique, probabiliste ou statistique.
Le raisonnement mathématique fait appel à des règles d’inférence et de déduction faisant intervenir des définitions, des énoncés admis comme prémisses, des lois ou propriétés, des résultats préalablement obtenus également par raisonnement, dans le but de démontrer des hypothèses ou des conjectures.
Dans son processus, le raisonnement mathématique se distingue de l’intuition, de la prémonition, de la révélation, par exemple, dans le fait qu’il progresse uniquement par l’application de règles précises appliquées à des concepts abstraits dont les propriétés sont clairement énoncées (admises comme axiomes ou démontrées).
Exemple
Affirmer qu’il existe une infinité de nombres premiers, parce qu’on en trouve vraiment beaucoup, procède de l’intuition. En faire la démonstration (la preuve) procède du raisonnement mathématique. C’est ce qu’Euclide a démontré dans la proposition 20 du Livre IX de ses Éléments. D’autres mathématiciens, tel Leonhard Euler, ont aussi fait la démonstration de l’infinité de l’ensemble des nombres premiers.