lois de De Morgan

lois de De Morgan

Identités logiques utilisées en logique propositionnelle et dans la théorie des ensembles, formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan.

  • En logique propositionnelle, ces identités s’énoncent comme suit :
    • La négation de la conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie « non(P et Q) » est « (non P) ou (non Q) » : ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q.
    • La négation de la disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(P ou Q) » est « (non P) et (non Q) » : ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q
  • En théorie des ensembles, ces identités s’énoncent comme suit :
    Soit l’ensemble U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} et les sous-ensembles « A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} et B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

    • Puisque A ∩ B = {5, 6, 7} alors (A ∩ B)’ = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 10} et puisque A’ = {1, 2, 3, 4} et B’ = {1, 8, 9, 10} alors A’ ∪ B’ = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 10}.  Alors, on voit que : (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’.
    • De même puisque A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, alors (A ∪ B)’ = {1} et A’ ∩ B’ = {1}.  On peut aussi observer que (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’.

Exemple

En logique propositionnelle :

  • La négation de « il fait froid et le ciel est gris » est « il ne fait pas froid ou le ciel n’est pas gris ».
  • La négation de « il fait froid ou le ciel est gris » est « il ne fait pas froid et le ciel n’est pas gris ».