homothétie dans le plan cartésien

homothétie dans le plan cartésien

Transformation de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)  dont la représentation cartésienne correspond à une homothétie du plan géométrique.

Formules

  • La règle d’une homothétie \(h_O\) centrée à l’origine \(O\) du plan cartésien est \(h_O : (x,  y) ↦ (kx, ky)\).
  • Pour une homothétie \(h\) de rapport \(k\) centrée à l’origine d’un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette homothétie seront données par \(\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).

Exemple

Voici la représentation cartésienne d’une homothétie \(h\) de centre \(O\) et de rapport \(3\)  :

La définition de cette homothétie peut s’écrire : \(r_O : (x, y) ↦ (3x, 3y)\) ou, en termes matriciels : \(\begin{bmatrix}3 & 0\\0 & 3\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).

Ainsi, par exemple, pour l’homothétie de centre (0, 0) du point \((7,5)\) : \(\begin{bmatrix}3×7\\3 ×5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}21\\15\end{bmatrix}\)