Homothétie dans le plan cartésien
Transformation de [latex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/latex] dans [latex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/latex] dont la représentation cartésienne correspond à une homothétie du plan géométrique.
Formules
- La règle d'une homothétie [latex]h_O[/latex] centrée à l'origine [latex]O[/latex] du plan cartésien est [latex]h_O : (x, y) ↦ (kx, ky)[/latex].
- Pour une homothétie [latex]h[/latex] de rapport [latex]k[/latex] centrée à l'origine d'un plan cartésien, la matrice de transformation est [latex]\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}[/latex], de telle sorte que les coordonnées [latex](x', y')[/latex] d'un point [latex]P(x, y)[/latex] par cette homothétie seront données par [latex]\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
Exemple
Voici la représentation cartésienne d'une homothétie [latex]h[/latex] de centre [latex]O[/latex] et de rapport [latex]3[/latex] :
La définition de cette homothétie peut s'écrire : [latex]r_O : (x, y) ↦ (3x, 3y)[/latex] ou, en termes matriciels : [latex]\begin{bmatrix}3 & 0\\0 & 3\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
Ainsi, par exemple, pour l'homothétie de centre (0, 0) du point [latex](7,5)[/latex] : [latex]\begin{bmatrix}3×7\\3 ×5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}21\\15\end{bmatrix}[/latex]