L’ensemble des contraintes est généralement appelé un programme. Si les contraintes s’expriment par des relations linéaires, on dira qu’il s’agit d’une situation de programmation linéaire.
L’expression fonction à optimiser est aussi synonyme de fonction économique ou fonction objectif.
Exemple
On prévoit utiliser au total au moins 150 litres de peinture pour repeindre les classes d’une école dont la surface totale est évaluée à moins de 500 m². Pour respecter le code de couleur de l’école, on peut utiliser de la peinture blanche et de la peinture verte. Selon les données fournies par la décoratrice, on doit utiliser au maximum 3 fois plus de peinture verte que de peinture blanche. Selon les caractéristiques de la peinture, un litre de peinture blanche couvre 2 m² et coûte 12 $, tandis qu’un litre de peinture verte couvre 3 m² et coûte 15 $.
Combien de litres de chaque couleur la décoratrice doit-elle utiliser pour réduire ses coûts?
On représente par x le nombre de litres de peinture blanche et par y le nombre de litres de peinture verte.
Contraintes (programme) :
| x ≥ 0 | le nombre de litres de peinture blanche est positif |
| y ≥ 0 | le nombre de litres de peinture verte est positif |
| y ≤ 3x | la quantité de peinture verte sera au plus 3 fois plus grande que la quantité de peinture blanche |
| 2x + 3y ≤ 500 | contrainte relative à la surface à peindre |
| x + y ≥ 150 | contrainte relative à la quantité de peinture totale à appliquer |
La fonction à optimiser, soit la règle qui fournira le coût moindre est : f(x, y) = 12x + 15y.
Voici le graphique du polygone des contraintes :
Le tableau ci-dessous donne la valeur de la fonction à optimiser en chacun des sommets du polygone des contraintes :
| Sommets (valeurs arrondies à l’unité près) |
Fonction à optimiser f(x, y) | Valeurs (en dollars) |
| A(45, 136) | 540 + 2040 | 2580 |
| B(38, 113) | 456 + 1695 | 2151 |
| C(150, 0) | 1800 + 0 | 1800 |
| D(250, 0) | 3000 + 0 | 3000 |
Selon les résultats obtenus, le meilleur coût est obtenu en utilisant 150 litres de peinture blanche et 0 litre de peinture verte. Le coût de l’opération sera alors de 1800 $.