espérance mathématique d’une variable aléatoire

espérance mathématique d’une variable aléatoire

Somme des produits des valeurs d’une variable aléatoire par leur probabilité.

Dans une situation de jeu de hasard, un jeu est équitable lorsque l’espérance mathématique est nulle.

Exemple

Au jeu du lancer d’un dé honnête à six faces numérotées de 1 à 6, vous misez 0,50 $ sur le 6 en espérant gagner 10 fois votre mise.  Dans ce cas, l’espérance mathématique se calcule de la façon suivante :

  • la probabilité d’obtenir un 6 est \(\frac{1}{6}\);
  • si vous gagnez, votre gain sera de \(10 \times 0,50\space $ \times \frac{1}{6}\), soit environ 0,83 $;
  • comme vous dépensez à chaque lancer une mise de 0,50 $, votre gain net sera de 0,33 $, soit : 0,83 – 0,50 = 0,33, en moyenne.

Ce jeu serait donc à votre avantage.

Une façon plus détaillée de calculer l’espérance mathématique E\(_{\textrm{M}}\) dans ce cas précis consiste à prendre en compte tous les résultats possibles ainsi que les gains qui leur sont associés :

  • E\(_{\textrm{M}}\) = \(\left( 0 × \frac{5}{6} \right) + \left( 10 × 0,50 × \frac{1}{6} \right ) − 0,50 ≈ 0,33\).