ensemble fermé pour une opération

ensemble fermé pour une opération

Ensemble dans lequel on a défini une loi de composition interne.

Exemples

  • L’ensemble des nombres naturels est fermé pour les opérations d’addition et de multiplication.
    Toute somme et tout produit de nombres naturels est un nombre naturel.
    Soit n ∈ \(\mathbb{N}\) et p ∈ \(\mathbb{N}\).  Alors : ∀n, p ∈ \(\mathbb{N}\) : (n + p) ∈ \(\mathbb{N}\) et (n × p) ∈ \(\mathbb{N}\).
  • L’ensemble des nombres naturels n’est pas fermé pour les opérations de soustraction et de division.
    Toute différence et tout quotient de nombres naturels n’est pas toujours un nombre naturel.
    Soit n ∈ \(\mathbb{N}\) et p ∈ \(\mathbb{N}\).  Alors : ∃n, p ∈ \(\mathbb{N}\) : (np) ∉ \(\mathbb{N}\) et (n ÷ p) ∉ \(\mathbb{N}\).