ensemble dénombrable

Note didactique

Les élèves confondent facilement « ensemble fini » et « ensemble dénombrable » puisqu’on associe un ensemble dénombrable à un ensemble dont on peut compter les éléments. La confusion vient du concept de « savoir compter ». En effet, lorsqu’on compte des objets, on associe à chacun d’eux un nombre : 1, 2, 3, 4, 5, etc., c’est-à-dire qu’entre le premier objet et le suivant, on sait qu’il n’y en a pas d’autre qu’on oublie. Toutefois, savoir compter les nombres ne signifie pas qu’il y en ait en nombre fini. Avec un peu de patience (!) on peut compter une infinité de nombres.

Ainsi, les ensembles de nombres naturels et entiers sont dénombrables; on dit qu’ils sont des ensembles infinis dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est aussi dénombrable, tout comme l’ensemble des nombres décimaux, mais cela est moins évident!  Par contre, l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable; c’est un ensemble infini indénombrable. Si on voulait les compter, à partir de 0 par exemple, on ne saurait pas trouver le nombre réel suivant, soit celui qui vient tout juste après, tel qu’il n’en existe pas d’autre qu’on oublie entre 0 et ce nombre, d’où l’impossibilité de les compter.