diagramme de Venn

diagramme de Venn

Représentation d’un ou de plusieurs ensembles par des lignes simples fermées dans lesquelles les éléments sont représentés par des points.

Le diagramme de Venn, comme les diagrammes de Carroll, est un schéma graphique utilisé pour représenter des relations logiques entres des ensembles et des éléments de ces ensembles.

Propriétés

Un diagramme de Venn est constitué de courbes fermées à l’intérieur desquelles sont rassemblés les éléments des ensembles qu’elles représentent, de telle sorte que :

  • chaque ensemble est identifié par une lettre majuscule qui le représente;
  • chaque élément de l’ensemble référentiel est représenté une seule fois et est identifié par son nom (lettre, nombre, etc.);
  • chaque élément de l’ensemble référentiel appartient à une et une seule plage du diagramme;
  • une région vide du diagramme est hachurée;
  • les intersections des courbes du diagramme sont placées de telle sorte qu’un attribut est représenté par une et une seule plage; ces plages sont disjointes les unes des autres.

Il résulte de ce qui précède que :

  • la représentation d’un sous-ensemble E d’un ensemble référentiel U donne donne lieu à deux plages correspondant aux attributs « appartient à » et « n’appartient pas à » l’ensemble E;
  • la représentation de deux sous-ensembles E et F d’un ensemble référentiel U donne lieu à quatre plages correspondant aux sous-ensembles suivants : E ∩ F, E \ F, F \ E et (E ∪ F)’;
  • la représentation de trois sous-ensembles E, F et G d’un ensemble référentiel U donne lieu à huit plages correspondant à chacun des huit sous-ensembles disjoints;
  • la représentation de n sous-ensembles d’un ensemble référentiel U donne lieu à 2n plages disjointes dans un diagramme de Venn.

Exemple

Voici un diagramme de Venn représentant les ensembles E = {abcde, fg}, F = {cdehijk} et G = {defg, k} de l’ensemble référentiel U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, kmn}.

Ce diagramme comporte 8 plages disjointes.

diagramme_de_Venn

Note historique

John Venn (1834-1923) est un mathématicien et logicien britannique qui a introduit en 1881 la représentation en forme de régions – parfois nommées papatoïdes – des ensembles d’objets. Il reprenait alors un mode de représentation semblable proposé par Euler avant lui en lui apportant des améliorations dont l’identification des plages vides, l’utilisation de plages pas nécessairement circulaires, etc.