Application
Une application est une relation d'un ensemble E vers un ensemble F telle que tout élément de l'ensemble E a une et une seule image dans l'ensemble F.
Une application d'un ensemble E dans lui même est appelée une transformation de l'ensemble E.
Synonyme de fonction.
Propriétés
- Application bijective Application qui est à la fois injective et surjective. Synonyme de bijection.
- Application injective Application f d'un ensemble E vers un ensemble F dans laquelle des éléments distincts du domaine ont des images distinctes. Synonyme d'injection.
- Application surjective Application f d'un ensemble E vers un ensemble F dont l'image est égale à l'ensemble d'arrivée F. Synonyme de surjection.
Exemples
- La relation de [latex]\mathbb {N}[/latex] dans [latex]\mathbb {N}[/latex] qui à tout nombre naturel x fait correspondre son double 2x est une application injective de [latex]\mathbb {N}[/latex] dans [latex]\mathbb {N}[/latex], soit une injection.
- La relation de [latex]\mathbb {Q}[/latex] dans [latex]\mathbb {Q}[/latex] qui à tout nombre rationnel x fait correspondre sa demie 0,5x est une application bijective de [latex]\mathbb {Q}[/latex] dans [latex]\mathbb {Q}[/latex], soit une bijection, puisque d'une part, à chaque nombre rationnel correspond sa moitié, et d'autre part, chaque nombre rationnel est la demie d'un autre nombre rationnel.
- La relation de [latex]\mathbb {Z}[/latex] dans [latex]\mathbb {N}[/latex] qui à tout nombre entier x fait correspondre sa valeur absolue |x| est une application surjective de [latex]\mathbb {Z}[/latex] dans [latex]\mathbb {N}[/latex], soit une surjection, puisque tout nombre naturel est l'image (la valeur absolue) d'au moins un nombre entier.