Fonction polynomiale dont la forme générale est \(f(x) = \textrm{A}{x}^2 + \textrm{B} x + \textrm{C}\), où A ≠ 0 et A, B, C ∈ \(\mathbb{R}\).
Une fonction polynomiale du second degré dont tous les coefficients des termes de degré inférieur à 2 sont nuls est appelé une fonction quadratique.
Propriétés
- Le graphique d’une fonction polynomiale du second degré a son sommet à l’origine du plan cartésien.
- Les zéros d’une fonction polynomiale du second degré sont donnés par :
- si (B2 – 4AC) ≥ 0, les zéros sont réels et : \(x_{1} = \frac{−\textrm{B}\space + \space \sqrt{{\textrm{B}}^{2} − 4\textrm{AC}}}{2\textrm{A}}\) et \(x_{2} = \frac{−\textrm{B}\space −\space \sqrt{{ \textrm{B}}^{2} − 4\textrm{AC}}}{2\textrm{A}}\);
- si la fonction est de la forme f(x) = \(\textrm{A}{x}^{2} + \textrm{B}x\), les zéros sont : \(x_{1}\) = 0 et \(x_{2}\) = − \(\frac{\textrm{B}}{\textrm{A}}\);
- si la fonction est de la forme f(x) = \(\textrm{A}{x}^{2} + \textrm{C}\), les zéros sont : \(x_{1} = \sqrt{− \frac{\textrm{C}}{\textrm{A}}}\) et \(x_{2} = − \sqrt{− \frac{\textrm{C}}{\textrm{A}}}\), où \(\textrm{AC}\) < 0;
- si la fonction est de la forme f(x) = \(\textrm{A}{x}^{2}\), les zéros sont : \(x_{1}\)= 0 et \(x_{2}\)= 0.
Exemples
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation \(f(x) = {x}^{2}\) a comme représentation graphique la parabole de base.
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation \(f(x) = {(x − \textrm{a})}^{2}\) a comme représentation graphique la parabole de base translatée horizontalement.
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation \(f(x) = {x}^{2} + \textrm{k}\) a comme représentation graphique la parabole de base translatée verticalement.
- La fonction polynomiale du second degré définie par la relation \(f(x) = a{(x − \textrm{h})}^{2} + \textrm{k}\) a comme représentation graphique la parabole de base translatée horizontalement et verticalement.
Le graphique ci-dessus illustre la fonction f définie par f(x) = (x + 3)2 − 4.