Rotation dans un plan cartésien
Transformation de [latex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/latex] dans [latex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/latex] dont la représentation cartésienne correspond à une rotation du plan géométrique.
Formules
- La règle d'une rotation [latex]r_O[/latex] de 90° centrée à l'origine [latex]O[/latex] du plan cartésien, dans le sens positif (anti-horaire), est [latex]r_O : (x, y) ↦ (−y, x)[/latex]. La règle d'une rotation [latex]r_O[/latex] de 180° centrée à l'origine [latex]O[/latex] du plan cartésien, dans le sens positif (anti-horaire), est [latex]r_O : (x, y) ↦ (−x, −y)[/latex]. La règle d'une rotation [latex]r_O[/latex] de 270° centrée à l'origine [latex]O[/latex] du plan cartésien, dans le sens positif (anti-horaire), est [latex]r_O : (x, y) ↦ (y, −x)[/latex].
- Pour une rotation [latex]r_O[/latex] de 90° centrée à l'origine [latex]O[/latex] du plan cartésien, la matrice de transformation est [latex]\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}[/latex], de telle sorte que les coordonnées [latex](x', y')[/latex] d'un point [latex]P(x, y)[/latex] par cette rotation seront données par [latex]\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}y \\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
- Pour une rotation [latex]r_O[/latex] de 180° centrée à l'origine [latex]O[/latex] du plan cartésien, la matrice de transformation est [latex]\begin{bmatrix}−1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}[/latex], de telle sorte que les coordonnées [latex](x', y')[/latex] d'un point [latex]P(x, y)[/latex] par cette rotation seront données par [latex]\begin{bmatrix}−1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
- Pour une rotation [latex]r[/latex] de [latex]\theta°[/latex] centrée à l'origine d'un plan cartésien, la matrice de transformation est [latex]\begin{bmatrix}\cos{\theta} & −\sin{\theta}\\\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}[/latex], de telle sorte que les coordonnées [latex](x', y')[/latex] d'un point [latex]P(x, y)[/latex] par cette rotation seront données par [latex]\begin{bmatrix}\cos{\theta} & −\sin{\theta}\\\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
Exemple
Voici la représentation cartésienne d'une rotation de 90° centrée à l'origine :
La définition de cette rotation peut s'écrire : [latex]r_O : (x, y) ↦ (−y, x)[/latex] ou, en termes matriciels : [latex]\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}y \\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}[/latex].
Ainsi, par exemple, pour une rotation de 90° du point [latex](-3,6)[/latex] autour de l'origine : [latex]\begin{bmatrix}-1×6\\1×-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6\\-3\end{bmatrix}[/latex]