Transformation de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dont la représentation cartésienne correspond à une rotation du plan géométrique.
Formules
- La règle d’une rotation \(r_O\) de 90° centrée à l’origine \(O\) du plan cartésien, dans le sens positif (anti-horaire), est \(r_O : (x, y) ↦ (−y, x)\).
La règle d’une rotation \(r_O\) de 180° centrée à l’origine \(O\) du plan cartésien, dans le sens positif (anti-horaire), est \(r_O : (x, y) ↦ (−x, −y)\).
La règle d’une rotation \(r_O\) de 270° centrée à l’origine \(O\) du plan cartésien, dans le sens positif (anti-horaire), est \(r_O : (x, y) ↦ (y, −x)\). - Pour une rotation \(r_O\) de 90° centrée à l’origine \(O\) du plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette rotation seront données par \(\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}y \\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une rotation \(r_O\) de 180° centrée à l’origine \(O\) du plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}−1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette rotation seront données par \(\begin{bmatrix}−1 & 0\\0 & −1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
- Pour une rotation \(r\) de \(\theta°\) centrée à l’origine d’un plan cartésien, la matrice de transformation est \(\begin{bmatrix}\cos{\theta} & −\sin{\theta}\\\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}\), de telle sorte que les coordonnées \((x’, y’)\) d’un point \(P(x, y)\) par cette rotation seront données par \(\begin{bmatrix}\cos{\theta} & −\sin{\theta}\\\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
Exemple
Voici la représentation cartésienne d’une rotation de 90° centrée à l’origine :
La définition de cette rotation peut s’écrire : \(r_O : (x, y) ↦ (−y, x)\) ou, en termes matriciels : \(\begin{bmatrix}0 & −1\\1 & 0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}y \\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x’\\y’\end{bmatrix}\).
Ainsi, par exemple, pour une rotation de 90° du point \((-3,6)\) autour de l’origine : \(\begin{bmatrix}-1×6\\1×-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6\\-3\end{bmatrix}\)