Quantificateur
Symbole indiquant qu'une propriété s'applique à tous les éléments d'un ensemble ou seulement à certains d'entre eux.
Symboles
- Le quantificateur universel est « [latex]\forall[/latex]x ∈ E » qui se lit : « pour tout x élément de l'ensemble E » ou « quel que soit x élément de l'ensemble E ».
- Le quantificateur existentiel est « [latex]\exists[/latex]x ∈ E » qui se lit : « il existe au moins un x élément de l'ensemble E ».
- Le quantificateur d'unicité est [latex]\underset{1}{\exists}[/latex] qui se lit : « il existe un et un seul x élément de l'ensemble E ».
Exemples
- L'expression « [latex]\forall[/latex]x ∈ [latex]\mathbb{N}[/latex] : (x + 4) ∈ [latex]\mathbb{N}[/latex] » se lit : « quel que soit le nombre naturel x, (x + 4) est un nombre naturel.
- L'expression « [latex]\exists[/latex]x ∈ [latex]\mathbb{N}[/latex] : x est un diviseur de 12 » se lit : « il existe au moins un nombre naturel x tel que x est un diviseur de 12 ».
- L'expression « [latex]\forall a, b ∈ \mathbb{R},\space \textrm{avec }b ≠ 0, \underset{1}{\exists}x ∈ \mathbb{R} : \dfrac{a}{b} = x[/latex], se lit : « pour tous nombres a et b de l'ensemble des nombres réels, b étant nul, il existe un et un seul x élément de l'ensemble des nombres réels tel que le quotient de a par b soit égal à x ».