Propriétés
(1) La racine n-ième d’un produit de facteurs est égale au produit des racines n-ièmes de chacun des facteurs et réciproquement :
- \(\sqrt[n]{ab}\) = \(\sqrt[n]{a}\) × \(\sqrt[n]{b}\), pour \(a\), \(b\) ∈ \(\mathbb{R_{+}}\) ou ab ∈ \(\mathbb{R_{-}}\)
- Exemple : \(\sqrt[3]{8 × 64}\) = \(\sqrt[3]{8}\) × \(\sqrt[3]{64}\) = 2 × 4 = 8
(2) La racine n-ième d’un quotient est égale au quotient des racines n-ièmes des deux termes de l’expression fractionnaire et réciproquement :
- \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) = \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), pour \(a\), \(b\) ∈ \(\mathbb{R_{+}}\) ou ab ∈ \(\mathbb{R_{-}}\) et \(b\) ≠ 0
- Exemple : \(\sqrt[4]{\dfrac{16}{1296}}\) = \(\dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{1296}}\) = \(\dfrac{2}{6}\) = \(\dfrac{1}{3}\)
(3) La racine m-ième de la racine n-ième d’un nombre \(a\) est égale à la racine du nombre \(a\), cette racine ayant pour indice le produit \(mn\) des indices :
- \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\) = \(\sqrt[mn]{a}\)
- Exemple : \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}\) = \(\sqrt[6]{64}\) = 2
(4) Pour élever à la puissance \(m\) la racine n-ième d’un nombre \(a\), \(m\) et \(n\) étant relativement premiers, on élève le radicande à cette puissance :
- \(\sqrt[n]{a^{m}}\) = (\(\sqrt[n]{a})^{m}\) = \(a^{\frac{m}{n}}\)
- Exemple : \(\sqrt[2]{3^{8}}\) = (\(\sqrt[2]{3})^{8}\) = \(3^{\frac{8}{2}}\) = \(3^{4}\) = 81
(5) On ne change pas la valeur d’un radical en multipliant l’indice du radical et l’exposant du radicande par un même nombre entier ou en les divisant par un diviseur commun :
- \(\sqrt[n]{a^{m}}\) = (\(\sqrt[nq]{a})^{mq}\) où \(a\) ≥ 0
- Exemple : \(\sqrt[4]{3^{6}}\) = \(\sqrt[8]{3^{12}}\)
- Exemple : \(\sqrt[4]{3^{6}}\) = \(\sqrt[2]{3^{3}}\)