Propriétés

(1) La racine n-ième d'un produit de facteurs est égale au produit des racines n-ièmes de chacun des facteurs et réciproquement :

• [latex]\sqrt[n]{ab}[/latex] = [latex]\sqrt[n]{a}[/latex] × [latex]\sqrt[n]{b}[/latex], pour [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] ∈ [latex]\mathbb{R_{+}}[/latex] ou ab ∈ [latex]\mathbb{R_{-}}[/latex]
• Exemple : [latex]\sqrt[3]{8 × 64}[/latex] = [latex]\sqrt[3]{8}[/latex] × [latex]\sqrt[3]{64}[/latex] = 2 × 4 = 8

(2) La racine n-ième d'un quotient est égale au quotient des racines n-ièmes des deux termes de l'expression fractionnaire et réciproquement :

• [latex]\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}[/latex] = [latex]\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}[/latex], pour [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] ∈ [latex]\mathbb{R_{+}}[/latex] ou ab ∈ [latex]\mathbb{R_{-}}[/latex] et [latex]b[/latex] ≠ 0
• Exemple : [latex]\sqrt[4]{\dfrac{16}{1296}}[/latex] = [latex]\dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{1296}}[/latex] = [latex]\dfrac{2}{6}[/latex] = [latex]\dfrac{1}{3}[/latex]

(3) La racine m-ième de la racine n-ième d'un nombre [latex]a[/latex] est égale à la racine du nombre [latex]a[/latex], cette racine ayant pour indice le produit [latex]mn[/latex] des indices :

• [latex]\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}[/latex] = [latex]\sqrt[mn]{a}[/latex]
• Exemple : [latex]\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}[/latex] = [latex]\sqrt[6]{64}[/latex] = 2

(4) Pour élever à la puissance [latex]m[/latex] la racine n-ième d'un nombre [latex]a[/latex], [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] étant relativement premiers, on élève le radicande à cette puissance :

• [latex]\sqrt[n]{a^{m}}[/latex] = ([latex]\sqrt[n]{a})^{m}[/latex] = [latex]a^{\frac{m}{n}}[/latex]
• Exemple : [latex]\sqrt[2]{3^{8}}[/latex] = ([latex]\sqrt[2]{3})^{8}[/latex] = [latex]3^{\frac{8}{2}}[/latex] = [latex]3^{4}[/latex] = 81

(5) On ne change pas la valeur d'un radical en multipliant l'indice du radical et l'exposant du radicande par un même nombre entier ou en les divisant par un diviseur commun :

• [latex]\sqrt[n]{a^{m}}[/latex] = ([latex]\sqrt[nq]{a})^{mq}[/latex] où [latex]a[/latex] ≥ 0
• Exemple : [latex]\sqrt[4]{3^{6}}[/latex] = [latex]\sqrt[8]{3^{12}}[/latex]
• Exemple : [latex]\sqrt[4]{3^{6}}[/latex] = [latex]\sqrt[2]{3^{3}}[/latex]