Si m et n sont des nombres entiers, le plus grand diviseur commun à m et n est le plus grand nombre entier positif qui divise à la fois m et n.
Notation
On note par l’expression PGCD(a, b, c) le plus grand commun diviseur des nombres a, b et c.
Propriétés
- Il faut noter que le PGCD est toujours un nombre entier positif.
- Relation entre le PGCD et le PPCM :
- Soit : PGCD (m, n) = p et PPCM (m, n) = q
- Alors : PGCD (m, n) × PPCM (m, n) = m × n
- Et on peut écrire : p × q = m × n
- Si PGCD (8, 12) = 4 et PPCM (8, 12) = 24, alors : 4 × 24 = 8 × 12.
- Par extension, on peut trouver le PGCD de deux ou plusieurs polynômes. Il faut d’abord les factoriser.
- \(x^{2}\) – 9 = \((x\) + 3)(\(x\) – 3)
\(x^{2}\) – \(x\) – 12 = (\(x\) + 3)(\(x\) – 4)
\(x^{2}\) + 6\(x\) + 9 = (\(x\) + 3)(\(x\) + 3)
Alors : le PGCD de ces trois polynômes est : (\(x\) + 3).
Exemples
Si div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} et div(15) = {1, 3, 5, 15}, alors : PGCD(12, 15) = 3.
Si div(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} et div(14) = {1, 2, 7, 14}, alors : PGCD(20, 14) = 2.