Si les termes a et b d’une division sont des nombres naturels non nuls, avec a ≥ b, alors b est un diviseur naturel de a si et seulement si le reste de cette division est nul.
De même, si les termes a et b d’une division sont des nombres entiers non nuls, avec a ≥ b, alors b est un diviseur entier de a si et seulement si le reste de cette division est nul. Si un nombre entier d est une diviseur d’un nombre entier N, alors l’entier –d est aussi un diviseur entier de N.
Notation
- L’ensemble des diviseurs entiers (positifs) d’un nombre naturel n se note « div(n) » et se lit « l’ensemble des diviseurs entiers de n ».
On note de la même manière l’ensemble des diviseurs entiers positifs ou négatifs d’un nombre entier. - L’ensemble des diviseurs naturels de 60, noté div(60), est : div(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.
- L’ensemble des diviseurs entiers de 12, noté div(12), est : div(12) = {–12, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Si on ne le spécifie pas autrement dans un contexte donné, div(n) désigne l’ensemble des diviseurs positifs de n.
Exemple
Dans l’opération 12 ÷ 4 = 3, le nombre 4 est le diviseur entier de 12 car le reste de cette division est nul. Les diviseurs entiers (positifs) de 12 sont {1, 2, 3, 4, 6, 12}.