intervalle

intervalle

Ensemble des nombres compris entre deux nombres donnés appelés les bornes de l’intervalle.

La longueur d’un intervalle est la valeur absolue de la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure d’un intervalle. On dit aussi l’amplitude de l’intervalle.

Symboles et graphismes

Les intervalles se notent de diverses façons et ce selon les caractéristiques de leurs deux bornes \(a\) et \(b\) :

Soit un ensemble E continu de nombres réels.

  • Un intervalle ouvert de E de bornes \(a\) et \(b\) est un sous-ensemble de E noté ]\(a\), \(b\)[ formé de tous les éléments de E strictement compris entre \(a\) et \(b\). Formellement, on écrira: ]\(a\), \(a\)[ = {x ∈ E | \(a\) < x < \(b\)}.
    Graphiquement, un intervalle ouvert est représenté par un segment dont les extrémités sont formées de points évidés.
  • Un intervalle semi-ouvert à gauche de E d’extrémités \(a\) et \(b\) est un sous-ensemble de E noté ]\(a\), \(b\)] formé de tous les éléments de E strictement supérieurs à \(a\) et inférieurs ou égaux à \(b\). Formellement, on écrira: ]\(a\), \(b\)] = {x ∈ E | \(a\) < x ≤ \(b\)}.
    Graphiquement, un intervalle semi-ouvert à gauche est représenté par un segment dont l’extrémité gauche est évidée et l’extrémité droite est pleine.
  • Un intervalle semi-ouvert à droite de E d’extrémités \(a\) et \(b\) est un sous-ensemble de E noté [\(a\), \(b\)[ formé de tous les éléments de E supérieur ou égaux à \(a\) et strictement inférieur à \(b\). Formellement, on écrira: [\(a\), \(b\)[ = {x ∈ E | \(a\) ≤ x < \(b\)}.
    Graphiquement, un intervalle semi-ouvert à droite est représenté par un segment dont l’extrémité gauche est pleine et l’extrémité droite est évidée.
  • Un intervalle fermé [\(a\), \(b\)] de E est un intervalle dont les extrémités sont incluses.  Un intervalle fermé est représenté par un segment dont les deux extrémités sont des points pleins. Graphiquement, un intervalle fermé est représenté par un segment dont les deux extrémités sont pleines.
    intervalle_ferme-2

Exemples

  • Soit l’intervalle [12, 35]. La longueur de cet intervalle est 23, car |35 – 12| = 23.
  • Soit l’intervalle [–12, –35]. La longueur de cet intervalle est 23, car |–35 – (–12)| = 23.
  • Soit l’intervalle [–12, 35]. La longueur de cet intervalle est 47, car |35 – (–12)| = 47.