fonction de répartition d’une variable aléatoire

fonction de répartition d’une variable aléatoire

Probabilité que les valeurs \(x_i\) prises par la variable aléatoire X soient strictement inférieures à une valeur donnée.

F(\(x_i\)) = P(X ≤ \(x_i\))

Une fonction de répartition est une fonction en escalier qui est nulle pour toute valeur \(x_i\) inférieure ou égale à la plus petite valeur de X, et égale à l’unité pour toute valeur \(x_i\) strictement supérieure à la plus grande valeur de X.

Exemple

Soit un dé honnête dont les six faces sont identifiées par les figures As, Roi, Dame, Valet et les valeurs Dix et Deux d’un jeu de cartes. Soit une variable aléatoire définie par la fonction X de l’ensemble Ω des résultats possibles sur un ensemble E de valeurs attribuées à ses faces tel que E = {100, 50, 20, 10, 5, 1}, de la façon représentée dans le tableau suivant :

Résultat (A) P(A) X(A)
As \(\frac{1}{6}\) 100
Roi \(\frac{1}{6}\) 50
Dame \(\frac{1}{6}\) 20
Valet \(\frac{1}{6}\) 10
Dix \(\frac{1}{6}\) 5
Deux \(\frac{1}{6}\) 1

Cela signifie que, par exemple, le joueur marque 50 points s’il tire un Roi, ou un point s’il tire un Deux. Les gains se répartissent donc dans l’intervalle [1, 100].

La fonction F est donc la fonction de répartition de la variable aléatoire X et F(\(x_i\)), où \(x_i\) ∈ [1, 100], est la probabilité de l’évènement « la valeur de la variable aléatoire X est strictement inférieure à \(x_i\) ».

Les valeurs de F sont décrites dans le tableau suivant :

\(x_i\) F(\(x_i\)) = P(X < \(x_i\))
\(x_i\) ≤ 1 0
1 < \(x_i\) ≤ 5 \(\frac{1}{6}\)
5 < \(x_i\) ≤ 10 \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)
10 < \(x_i\) ≤ 20 \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)
20 < \(x_i\) ≤ 50 \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)
50 < \(x_i\) ≤ 100  \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
 100 < \(x_i\)   \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= 1\)